ไวยากรณ์ของพลวัต
สมการ เชิงอนุพันธ์ คือสมการที่มีฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าและอนุพันธ์บางส่วนของมัน ในการพูดภาษาของสมการเชิงอนุพันธ์ เราต้องระบุบทบาทของตัวแปรต่างๆ ดังนี้:
- ตัวแปรอิสระ ($t$): มักหมายถึงเวลาหรือตำแหน่ง
- ตัวแปรตาม ($P$ หรือ $y$): แสดงสถานะของระบบ (เช่น ขนาดของประชากร)
- ลำดับ: คืออนุพันธ์อันดับสูงสุดที่ปรากฏในสมการ ตัวอย่างเช่น $y'' + y = 0$ เป็นสมการอันดับที่สอง
โมเดลการเติบโตตามธรรมชาติ
พิจารณาหลักการเติบโตตามธรรมชาติ: อัตราการเปลี่ยนแปลงของประชากรแปรผันโดยตรงกับขนาดของมัน ซึ่งแปลได้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับแรก:
$$\frac{dP}{dt} = kP$$
ที่นี่ $k$ คืออัตราการเติบโตสัมพัทธ์ โมเดลนี้บ่งชี้ว่า ประชากรใหญ่เท่าใด การเติบโตจะเร็วขึ้นเท่านั้น — นี่คือลักษณะเฉพาะของพฤติกรรมแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล
การตรวจสอบคำตอบ
เราจะรู้ได้อย่างไรว่าฟังก์ชันหนึ่งเป็นคำตอบหรือไม่? มันต้องเป็นจริงสำหรับทุกค่าของ $t$
ให้ $P(t) = Ce^{kt}$ เราคำนวณอนุพันธ์:
$$P'(t) = \frac{d}{dt}(Ce^{kt}) = C(ke^{kt}) = k(Ce^{kt})$$
เนื่องจาก $Ce^{kt} = P(t)$ เราจึงได้ว่า $P'(t) = kP(t)$ ดังนั้นสมการนี้เป็นจริง!
เงื่อนไขเริ่มต้นและความเป็นเอกลักษณ์
คำตอบ $P = Ce^{kt}$ แท้จริงแล้วเป็น กลุ่มคำตอบเพื่อหาเส้นโค้งเฉพาะหนึ่ง เราต้องการ เงื่อนไขเริ่มต้นเช่น $P(0) = P_0$ เงื่อนไขทางกายภาพนี้ช่วยให้เราหาค่า $C$ ได้ ทำให้เราสามารถระบุเส้นทางเฉพาะของระบบของเราได้ หมายเหตุ: ในบริบททางชีวภาพ เราจำกัดให้ $C > 0$ เพราะประชากรไม่สามารถเป็นลบได้